Introduction à l'algèbre de Boole

1. Définitions

1.1 Présentation

L'algèbre de Boole est un moyen mathématique pour traiter des raisonnements logiques constitués de propositions ne pouvant prendre que deux états : vrai ou faux.

Le philosophe et mathématicien anglais Georges Boole avait établi les fondements de cette algèbre vers 1850.

1.2 Variables booléennes, ou logiques

Ce sont des grandeurs qui ne peuvent prendre que deux valeurs distinctes, correspondant à deux états distincts et exclusifs.

On convient de représenter ces deux états par 0 et 1.

Exemples :
une ampoule allumée ou éteinte
un interrupteur actionné ou pas
être de sexe masculin, ou pas
avoir atteint ses 18 ans, ou pas

1.3 Fonctions booléennes, ou logiques

Fonctions F(x₁,x₂, ...,x_n) de n variables logiques. Elles ne peuvent prendre, comme les variables elles-mêmes, que les valeurs 0 et 1.

Il y a 2ⁿ combinaisons possibles de n variables. Une fonction logique sera donc définie par un tableau de 2ⁿ lignes.

1.4 Table de vérité

Composée de 2n lignes représentant toutes les combinaisons possibles. L'exemple ci-contre représente une fonction S de 3 variables a, b, c. Il y a 23 lignes.

1.5 Circuits logiques

Circuits ayant un certain nombre d'entrées et de sorties, chacune d'entre elles ne pouvant prendre que 2 états.

1.6 Circuits logiques combinatoires

L'état de la sortie est une fonction déterminée de l'état des entrées :
S = f(a,b,...)

1.7 Circuits logiques séquentiels

L'état seul des entrées ne suffit pas pour connaître l'état de la sortie car à un même état des entrées peuvent correspondre des états de sortie différents.

1.8 Schémas électriques

Un des premiers types de circuit logique qui vient à l'esprit.

Les symboles utilisés sont

	contact normalement ouvert
	contact normalement fermé
	ampoule

Les contacts sont toujours dessinés au repos.
Un contact ouvert au repos est représenté par une lettre minuscule.
Un contact fermé au repos est représenté par une lettre minuscule surmontée d'une barre.
Les différents organes sont dits à l'état 0 lorsqu'ils sont au repos (non actionnés, non alimentés) et à l'état 1 lorsqu'ils fonctionnent.